[三角関数が苦手な人必見!]三角関数の公式はこれだけ覚えろ!

勉強

こんにちは、かすてらです。

三角関数苦手な人多いですよね。

特に公式の量が膨大すぎて、あれを全て完璧に覚えるのはいくら時間があっても足りません。

ただ、三角関数の公式の多くは、一部公式からの派生であるので、その派生元の公式さえ覚えることができれば最小限の記憶で全ての公式を使えるようになります!

そこで今回は、必ず覚える公式と、その公式を使って他の公式への導出過程について紹介したいと思います。

覚える公式はこれだ!

三角関数の相互関係

$$ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta =1 $$

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

加法定理

$$ \sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$

$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$

覚えるのはたったこれだけです!

これだけで残り全ての公式を導出することができます。

他の公式の覚え方

2・3倍角、半角の公式

\(\sin 2x = 2\sin x \cos x\)

加法定理を使って、\(\sin 2x = \sin (x+x)\)と変形することで導出できます。

\(\sin 3x = -4\sin^3 x + 3\sin x\)

加法定理を使って、\(\sin 3x = \sin (2x+x)\)と変形し、\(\sin2x\)の公式を一緒に使うと導出できます。

\(\cos 2x = 2\cos^2 x – 1 = 1 – 2\sin^2 x\)

加法定理を使って、\(\cos 2x = \cos (x+x)\)と変形すると、\(\cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x\)

\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)より、\(\sin^2 x = 1 – \cos^2 x\),\(\\cos^2 x = 1 – sin^2 x\)を代入することで導出できます。

\(\cos 3x = 4\cos^3 x – 3\cos x\)

加法定理を使って、\(\cos 3x = \cos (2x+x)\)と変形し、\(\cos 2x = 2\cos^2 x – 1\)の公式を一緒に使うと導出できます。

ちなみに、この公式のゴロとして『新婚さんまだ未婚』っていう矛盾に満ちた語呂があります笑

\(\cos^2 x = \frac{\cos 2x – 1}{2}\)、\(\sin^2 x = \frac{1 – \cos 2x}{2}\)

\(\cos 2x = 2\cos^2 x – 1 = 1 – 2\sin^2 x\)を変形することで導出できます。

和積・積和の公式

和積の公式

使う頻度はそこまでないですが、複雑な形をしているので導出の仕方だけ覚えましょう!

$$ \sin x+\sin y=2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $$

$$ \sin x-\sin y=2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} $$

$$ \cos x+\cos y=2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $$

$$ \cos x-\cos y=-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} $$

2つの加法定理を足したり引いたりすることで導出できます。

例として、\( \sin x+\sin y=2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \)は、

\( \sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \)と、

\( \sin (x – y) = \sin x \cos y – \cos x \sin y \)を足すことで得られる、

\( \sin (x + y) + \sin (x – y)= 2\sin x \cos y \)

後は、\(x + y = \alpha , x – y = \beta とおくことで、x = \frac{\alpha + \beta}{2} , y = \frac{\alpha – \beta}{2} \) となるのでこれらを代入することで導出できます。

積和の公式

特に積分でよく使います。使っていくうちに自然と覚えていきますが、導出の仕方も一緒に覚えましょう!

$$ \sin x \cos y=\frac{1}{2}(\sin (x+y)+\sin (x-y)) $$
$$ \sin x \sin y=\frac{1}{2}(\cos (x-y)-\cos (x+y)) $$
$$ \cos x \cos y=\frac{1}{2}(\cos (x+y)+\cos (x-y)) $$

和積の公式の両辺を\( \frac{1}{2} \)倍し、\( \frac{x + y}{2} = \alpha , \frac{x – y}{2} = \beta とおくことで、x = \alpha + \beta , y = \alpha – \beta \) となるのでこれらを代入することで導出できます。

まとめ

今回は三角関数の必ず覚える公式と、他の公式の導出過程について勉強しました。

どの公式も使っていくうちに自然と覚えてきますが、ド忘れした際にはこの導出の仕方を思い出してください。

皆さんが数学が得意になることを応援しています!

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